Halaman
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2FUNGSI EKSPONEN DAN FUNGSI LOGARITMAMATEMATIKA PEMINATANKELASXPENYUSUNEntis Sutisna, S.PdSMA Negeri 4 Tangerang
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN....................................................................................................................................................2DAFTAR ISI...................................................................................................................................................3GLOSARIUM..................................................................................................................................................5PETA KONSEP..............................................................................................................................................6PENDAHULUAN..........................................................................................................................................7A. Identitas Modul...........................................................................................................7B. Kompetensi Dasar.......................................................................................................7C. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................7D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................8E. Materi Pembelajaran...................................................................................................9KEGIATAN PEMBELAJARAN 1..........................................................................................................10FUNGSI EKSPONEN.................................................................................................................................10A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................10B.Uraian Materi............................................................................................................10C.Rangkuman...............................................................................................................15D.Latihan Soal..............................................................................................................15E.Penilaian Diri............................................................................................................19KEGIATAN PEMBELAJARAN 2..........................................................................................................20PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN...............................................................20A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................20B.Uraian Materi............................................................................................................20C.Rangkuman...............................................................................................................25D.Latihan Soal..............................................................................................................25E.Penilaian Diri............................................................................................................27KEGIATAN PEMBELAJARAN 3..........................................................................................................28FUNGSI LOGARITMA..............................................................................................................................28A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................28B.Uraian Materi............................................................................................................28C.Rangkuman...............................................................................................................36D.Latihan Soal..............................................................................................................36E.Penilaian Diri............................................................................................................38KEGIATAN PEMBELAJARAN 4..........................................................................................................39PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA............................................................39A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................39
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4B.Uraian Materi............................................................................................................39C.Rangkuman...............................................................................................................43D.Latihan Soal..............................................................................................................44E.Penilaian Diri............................................................................................................47EVALUASI....................................................................................................................................................48DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................................................51
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5GLOSARIUMBasis:bilangan pokok.Domain:Semua nilai yang membuat fungsi terdefinisiEksponen:Pangkat,bilangan atau variabel yang ditulis di sebelah kanan atas bilangan lain (variabel) yang menunjukkan pangkat.Eksponensial:Bersifat atau berhubungan dengan eksponenHimpunan penyelesaian:himpunan semua penyelesaian suatu persamaan, sistem persamaan, dan pertidaksamaan.Logaritma:Eksponen pangkat yang diperlukan untuk memangkatkan bilangan dasar supaya mendapatkan bilangan tertentu (jika bilangan dasarnya10, maka log 100 = 2, artinya 10 pangkat 2 = 100).Persamaan:kalimat terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan”.Pertidaksamaan:kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaanRange:Semua nilai y atau f(x) dari suatu fungsiSubtitusi:penggantian.Variabel:Peubah
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PETA KONSEPunsurHimpunanFungsi Materi prasyaratMasalah OtentikFungsi EksponenFungsi LogaritmaBilangan EksponenBilanganLogaritmaBasisNumerusHasil LogaritmaBasisPangkatHasil OperasiSifat-sifat EksponenSifat-sifatLogaritmaunsur
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7PENDAHULUANA. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika PeminatanKelas:XAlokasi Waktu:16 JPJudul Modul:Fungsi Eksponen dan Fungsi LogaritmaB. Kompetensi Dasar3.1Mendeskripsikan dan menentukan penyelesaian fungsi eksponensial dan fungsi logaritma menggunakan masalah kontekstual, serta keberkaitannya4.1Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmaIndikator:3.1.1Mendeskripsikan fungsi eksponen3.1.2Menentukan penyelesaian fungsi eksponen3.1.3Menggunakan masalah kontekstual yang terkait dengan fungsi eksponen3.1.4Mendeskripsikan fungsi logaritma3.1.5Menentukan penyelesaian fungsi logaritma3.1.6Menggunakan masalah kontekstual yang terkait dengan logaritma4.1.1Menyajikan fungsi eksponensial4.1.2Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen4.1.3Menyajikan fungsi logaritma4.1.4Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi logaritmaC. Deskripsi Singkat MateriSalam jumpa melalui pembelajaran matematika dengan materi Eksponen dan Logaritma. Modul ini disusun sebagai satu alternatif sumber bahan ajar siswa untuk memahami materi Eksponen dan Logaritma di kelas X peminatan. Topik ini terbagi dalam dua materi yaitu: (1) Eksponen dan (2) Logaritma. Materi Eksponen dan Logaritma membahas tentang pengertian Eksponen, Logaritma, dan aplikasinya dalam kehidupan nyata. Untuk materi Eksponen akan dibahas konsep eksponen, fungsi eksponen, sifat-sifat operasi eksponen dan aplikasinya dalam kehidupan nyata. Sementara itu, untuk materi logaritma akan dibahas konsep logaritma, operasi logaritma, cara menentukan nilai logaritma, sifat-sifat operasi logaritma dan aplikasinya dalam kehidupan nyata.Materi ini dapat Kalian terapkan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya dalam bidang kesehatan, ekonomi, fisika, kimia, biologi, teknik dan lain-lain. Sebagai contoh, setelah menyaksikan penyebaran virus Corona sangat cepat dan meluas di berbagai Negara, maka WHO menetapkan kasus Corona yang menyebabkan Covid-19 sebagai pandemi. Penyebaran virus corona kalau tidak segera diantisipasi dengan baik, seperti Distancing Social, Bekerja dan Belajar di Rumah, membiasakan untuk selalu mencuci tangan dan menggunakan masker, menutup tempat hiburan, pasar dan tempat keramaian lainnya akan mengakibat jumlah orang yang tertular akan melonjak mengikuti grafik fungsi eksponen. Simulasi oleh peneliti dari alumni jurusan
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8matematika UI jumlah orang-orang yang tertular jika pemerintah tidak melakukan intervensi dalam meminimalisir interaksi antar manusia akan tampak seperti grafik fungsi eksponen berikut:Gambar 1. Kurva kasus positif jika tidak ada intervensi pemerintah dan physical distancingSumber: https://www.liputan6.com/tekno/read/4215379/alumni-matematika-ui-buat-simulasi-3-skenario-pandemi-covid-19-di-indonesiaBahaya Covid-19 jika kita mengabaikan Distancing Social dapat dijelaskan dengan fungsi ekponen seperti pada video ini:Sumber: https://www.youtube.com/watch?time_continue=309&v=e4K65J7wILE&feature=emb_logoD. Petunjuk Penggunaan ModulSupaya Kalianberhasil mencapai kompetensi dalam mempelajari modul ini maka ikuti petunjuk-petunjuk berikut:1.Petunjuk Umuma.Bacalah modul ini secara berurutan dan pahami isinya.b.Pelajari contoh-contoh penyelesaian permasalahan dengan seksama dengan pemahaman atau bukan dihafalkan.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9c.Laksanakan semua tugas-tugas yang ada dalam modul ini agar kompetensi Kalian berkembang sesuai kompetensi yang diharapkand.Setiap mempelajari materi, Kalian harus mulai dari menguasai pengetahuan pendukung (uraian materi) melaksanakan tugas-tugas, mengerjakan lembar latihane.Dalam mengerjakan lembar latihan, Kalian jangan melihat kunci jawaban terlebih dahulu sebelum anda menyelesaikan lembar latihan f.Laksanakan lembar kerja untuk pembentukan keterampilan sampai Kalian benar-benar terampil sesuai kompetensi. g.Konsultasikan dengan guru apabila Kalian mendapat kesulitan dalam mempelajari modul ini.2.Petunjuk Khususa.Dalam kegiatan Pembelajaran 1 Kalian akan mempelajari bagaimana memahami konsep dan menyelesaikan masalah eksponen, menggunakan dan menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan eksponen. Pada kegiatan pembelajaran 2 Kalian akan mempelajari bagaimana memahami konsep dan menyelesaikan masalah logaritma, menggunakan dan menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan logaritma.b.Perhatikan gambar gambar dan uraian dengan seksama agar dapat memahami, menentukan dan menggeneralisasikan rasio perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut diberbagai kuadran dan sudut berelasi serta mampu menerapkan dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan hal tersebut. c.Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Kerjakanlah soal uji kompetensi dengan cermat agar Kalian bisa lebih paham dan terampil.E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 4kegiatan pembelajarandandi dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Fungsi Eksponen(4 JP)Kedua : Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen(4 JP)Ketiga:Fungsi Logaritma (4 JP)Keempat:Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma(4 JP)
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10KEGIATAN PEMBELAJARAN 1FUNGSI EKSPONENA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkanpeserta didik dapatmenjelaskan konsep fungsi eksponen, mengidentifikasi sifat-sifat fungsi eksponen, menggambarkan grafikfungsi eksponen, dan menyelesaikan masalah terkait fungsi eksponen.B.Uraian MateriUntuk menyegarkan kembali ingatan Kalian tentang bilangan berpangkat (eksponen) yang sudah dipelajari di SMP, perhatikan sifat-sifat bilangan berpangkat berikut. Jika adan bbilangan real, pdan qbilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai berikut:1.𝑎𝑝𝑥𝑎𝑞=𝑎𝑝+𝑞7.𝑎𝑝=1𝑎−𝑝2. 𝑎𝑝:𝑎𝑞=𝑎𝑝−𝑞8.𝑎𝑝𝑞=√𝑎𝑝𝑞3. (𝑎𝑝)𝑞=𝑎𝑝𝑞9.√𝑎𝑏𝑝=√𝑎𝑝.√𝑏𝑝4. (𝑎𝑏)𝑝=𝑎𝑝.𝑏𝑝10.√𝑎𝑏𝑝=√𝑎𝑝√𝑏𝑝5. (𝑎𝑏)𝑝=(𝑎𝑝𝑏𝑝)11. 𝑎0=16. 𝑎−𝑝=1𝑎𝑝(𝑎≠0)Untuk memahami penggunaan sifat-sifat bilangan berpangkat di atas, perhatikan contoh berikut.Contoh 1.Tulislah bentuk-bentuk di bawah ini dalam bentuk pangkat bilangan bulat positif.a.2332e.3−4:32b.76: 49 f.(𝑝−4∶𝑞−2)−3c.(23)4g.6456d.(𝑎2×𝑏3)5h.√16814Jawaba.2332= 2325= 23 + 5= 28b.76: 49= 76: 72= 76–2= 74c.(23)4= 23 4= 212d.(𝑎2×𝑏3)5=(𝑎2)5×(𝑏3)5=𝑎10×𝑏15
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11e.3−4:32=3−4−2=3−6=136e.(𝑝−4∶𝑞−2)−3=(𝑝−4)−3:(𝑞−2)−3=𝑃12:𝑞6=𝑝12𝑞6f.6456=(26)56=26×56=25g.√16814=√164√814=√244√344=244344=23Untuk memahami fungsi eksponen, coba Kalian perhatikan masalah berikut.Seorang pedagang baju selalu mencatat penjualan dagangannya setiap hari seperti dalam tabel berikut:Hari ke-12345...xJumlah baju terjual2481632...Bentuk pangkat21222324252xTabel 1. Hasil penjualan baju per hariPada bentuk urutan dari baris ke-1 dengan baris ke-3 di atas merepresentasikan suatu fungsi satu-satu dengan domain bilangan asli. Fungsi 𝑓: 𝑥→ 𝑓(𝑥) = 2𝑥merupakan salah satu fungsi eksponen, sehingga perkembangan baju terjual tersebut merupakan salah satu contoh dari fungsi eksponen yang domainnya adalah bilangan cacah.Fungsi 𝑓: 𝑥→ 𝑎𝑥, dengan 𝑎> 0 dan 𝑎≠ 1 disebut fungsi eksponen, yang mempunyai domain bilangan real dan range bilangan positif.Bentuk umum fungsi eksponen adalah 𝑓: 𝑥→ 𝑎𝑥atau f(𝑥) = 𝑎𝑥dengan a> 0 dan a≠ 1.Pada fungsi eksponen f(𝑥) = 𝑎𝑥, 𝑥disebut peubah dan daerah asal(domain) dari fungsi eksponen adalah himpunan bilangan real yaitu Df:{−∞<𝑥<+∞,𝑥∈𝑅}Dari uraian di atas, Kalian dapat menyimpulkan bahwa fungsi eksponen adalah sebuah fungsi yang memetakan setiap 𝑥anggota himpunan bilangan real dengan tepat satu anggota bilangan real k𝑎𝑥, dengan ksuatu konstanta dan abilangan pokok (basis) dengan a> 0 dan a≠ 1.Fungsi eksponen ini adalah salah satu fungsi yang cukup penting dalammatematika. Fungsi eksponen banyak sekali penerapannya, dan tidak hanya dalammatematika saja tetapi banyak pula berkaitan dengan pertumbuhan dan peluruhan. Selainitu nanti kita akan melihat, bahwa fungsi ini erat sekali hubungannya dengan fungsilogaritma.Contoh fungsi eksponen:1.𝑓(𝑥)=3𝑥+12.𝑓(𝑥)=42𝑥3.𝑓(𝑥)=(13)2𝑥Menggambar sketsa grafik fungsi eksponen dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.1. Buat daftaratau tabel yang menunjukkan hubungan antara nilai-nilai xdengan nilai-nilai y= f(x) = ax.2. Titik-titik dengan koordinat (x, y) yang diperoleh digambarkan pada bidang kartesius, kemudian dihubungkan dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi eksponen y= f(x) = ax.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12Sebagai contoh, kita akan menggambargrafik fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥dan 𝑔(𝑥)=(12)𝑥.Mula-mula dibuat tabel nilai fungsi berikut.𝑥-3-2-10123𝑓(𝑥) = 2𝑥1814121248𝑔(𝑥)=(12)𝑥2481181412Tabel 2. Nilai fungsi 𝑓(𝑥)=2𝑥dan𝑔(𝑥)=(12)𝑥Gambar 1. Grafik fungsi eksponen𝑓(𝑥) = 2𝑥dan 𝑔(𝑥)=(12)𝑥Dengan memperhatikan gambar di atasterlihat bahwa:a.Domain kedua fungsi adalah himpunan semua bilangan real,Df= {x|xεɌ} atau (-∞, ∞).b.Rangenya berupa himpunan semua bilangan real positif,Rf= {y|y> 0,yεɌ} atau (0, ∞).c.Kedua grafik melalui titik (0, 1).d.Kurva mempunyai asimtot datar yaitu garis yang didekati fungsi tapi tidak akan berpotongan dengan fungsi, sumbuX(garisy= 0).e.Kedua grafik simetris terhadap sumbu Yf.Grafik 𝑓(𝑥) = 2𝑥merupakan grafik yang monoton naik, sedangkangrafik 𝑔(𝑥)=(12)𝑥merupakan grafik yang monoton turun, dan keduanya berada di atas sumbu X (nilai fungsi senantiasa positif).Dari grafik di atas, dapat disimpulkan bahwa fungsi 𝑓: 𝑥→ 𝑎𝑥, untuk 𝑎> 1 adalah fungsi naik dan untuk0 < 𝑎< 1 adalahfungsi turun. Karena range dari 𝑓adalah bilangan positif dan 𝑎0= 1, maka grafik fungsi 𝑓: 𝑥→ 𝑎𝑥untuk 𝑎> 0 terletak di atas sumbu 𝑥dan melalui titik (0, 1).Contoh2.Lukislah grafik fungsi 𝑓(𝑥)=(13)𝑥pada interval −3≤𝑥≤3.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13JawabBuat tabel nilai fungsi berikut.𝑥-3-2-10123𝑓(𝑥)=(13)𝑥279311319127Tabel 3. Nilai fungsi 𝑓(𝑥)=(13)𝑥Dari tabel nilai fungsi kita dapatkan pasangan koordinat kartesius sebagai berikut:(−3, 27), (−2, 9), (−1, 3), (0, 1), (1,13),(2,19),(3,127).Sketsa grafik fungsi 𝑓(𝑥)=(13)𝑥Gambar 2.Grafik fungsi 𝑓(𝑥)=(13)𝑥Contoh 3.Grafik sebuah fungsi eksponen 𝑦=𝑘𝑎𝑥diketahui melalui titik (0, 5) dan (2, 20). Tentukan fungsi eksponen tersebut.JawabGrafik fungsi melalui titik (0, 5), maka 5 = k.a05 = k.1k= 5Sehingga fungsi menjadi y= 5.𝑎𝑥Grafik fungsi melalui titik (2, 20), maka 20 = 5.a24 = a2a= 2Jadi persamaan fungsi eksponennya adalah 𝑦=5.2𝑥Contoh 4.Waktu paruh radium-226 adalah 1600 tahun. Sebanyak50 gram radium-226 sample ditempatkan di fasilitas penyimpanan bawah tanah dan dimonitor.a.Tentukan fungsi yang memodelkan massa radium-226 yang tersisa setelahxwaktu paruh.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14b.Gunakan model fungsi untuk memprediksi jumlah radium-226 yang tersisa setelah 4000 tahun.c.Buat tabel nilai fungsi m(x) pada interval 0≤𝑥≤5.d.Gambar grafik fungsi m(x) berdasarkan tabel nilai fungsi dan apa yang dapat diceritakan dari grafik tentang peluruhan radium-226?Jawaba.Diketahui masa awal adalah 50 gram dan faktor peluruhan a= 12(faktor peluruhan 1600 tahun).Model fungsinya adalah m(x) = 50.(12)𝑥dengan xjumlah periode waktu 1600 tahun.b.Jumlah periode waktu yang mewakili 4000 tahun adalah40001600=2,5Jadi 4000 tahun mewakili 2,5 periode waktu paruh. Dengan mensubtitusi x=2,5 pada model fungsi diperoleh𝑚(𝑥)=50.(12)𝑥𝑚(2,5)=50.(12)2,5m(2,5) ≈8,84Jadi masa yang tersisa setelah 4000 tahun sekitar 8,84 gram.c.Tabel nilai fungsi (menggunakan kalkulator):x012345𝑚(𝑥)=50.(12)𝑥502512,56,253,1251,562Tabel 4. Nilai fungsi 𝑚(𝑥)=50.(12)𝑥d.Grafik fungsi𝑚(𝑥)=50.(12)𝑥berdasarkan nilai dari tabel.Gambar 3.Fungsi 𝑚(𝑥)=50.(12)𝑥
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN15Contoh 5.Aqila menabung sebesar Rp1000.000,00 di suatu bank selama 3 tahun dengan bunga majemuk sebesar10% per tahun. Pada setiap akhir tahun bunga pada tahun yang bersangkutan ditambahkan dengan uang yang tersimpan sehingga seluruhnya menjadi modal awal tahun berikutnya. Berapa jumlah uang Aqila pada akhir tahun ketiga?JawabMisalkan uang Aqilayang ditabung dinyatakan dengan M0Bunga majemuk bank dinyatakan dengan bilangan desimal iWaktu penyimpanan = t tahunUang Aqila pada akhir tahun ke-t dinyatakan MtBunga yang diberikan oleh bank adalah bunga majemuk, maka uang Aqila pada akhir tahun ke-t tumbuh secara eksponensial dengan besarMt = 𝑀0(1+𝑖)𝑡DiketahuiM0= Rp1000.000,00, bunga majemuk i= 10%, dan waktu penyimpanan t= 3 tahun, sehingga diperolehMt=𝑀0(1+𝑖)𝑡=1000.000(1+10%)3=1000.000 (1,1)3=1000.000 (1,331)=1.331.000Jadi, besarnya uang Aqila pada akhir tahun ke-3 adalah Rp1.331.000,00.C.Rangkuman1.Fungsi eksponen adalah sebuah fungsi yang memetakan setiap x anggota himpunan bilangan real dengan tepat satu anggota bilangan real 𝑘𝑎𝑥, dengan ksuatu konstanta dan abilangan pokok (basis) dengan a> 0 dan a≠ 1.2.Sifat-sifat fungsi eksponen f(x) = 𝑘𝑎𝑥dengan a≠ 1 sebagai berikut:a.Selalu memotong sumbu Y di titik (0, 1)b.Merupakan fungsi kontinuc.Tidak pernah memotong sumbu Xsehingga dikatakan sumbu Xsebagai asimtot mendatard.fmerupakan fungsi naik jika a> 1 dan merupakan fungsi turun jika 0 <a< 1e.Grafik fungsi f(x) = 𝑎𝑥dan f(x) = (1𝑎)𝑥simetris terhadap sumbu Y.D.Latihan Soal1.Sederhanakan bentuk 24𝑎−7𝑏−2𝑐6𝑎−2𝑏−3𝑐−6.2.Lukislah grafigfungsi eksponen berikut.a.f(x) = 2𝑥+1pada interval −3≤𝑥≤3b.f(x) = 3𝑥+1pada interval −3≤𝑥≤3
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN163.Tentukan fungsi eksponen dari sketsa grafik berikut.Gambar (a)gambar (b)4.Pada pukul 08.00 pagi massa suatu zat radioaktif adalah 0,2 kg. Apabila diketahui laju peluruhan zat radioaktif tersebut 10% setiap jam, hitunglah sisa zat radioaktif itu pada pukul 14.00 siang?
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN17PEMBAHASAN LATIHAN SOAL1.Alternatif jawaban24𝑎−7𝑏−2𝑐6𝑎−2𝑏−3𝑐−6=246𝑎−7𝑎2𝑏−2𝑏3c.𝑐6=4.𝑎−7+2𝑏−2+3𝑐1+6=4𝑏𝑐7𝑎52.Alternatif jawabana.Buat tabel nilai fungsi f(x) = 2𝑥+1pada interval −3≤𝑥≤3.x-3-2-10123f(x) = 2𝑥+11412124816(x, f(x))(-3, 14)(-2, 12)(-1, 1)(0, 2)(1, 4)(2, 8)(3, 16)Gambar pasangan titikpada bidang cartesius dan hubungkan menjadi kurva mulus.b.Buat tabel nilai fungsi f(x) = 3𝑥+1pada interval -3≤𝑥≤3x-3-2-10123f(x) = 3𝑥+119131392781(x, f(x))(-3, 19)(-2, 13)(-1, 1)(0, 3)(1, 9)(2, 27)(3, 81)Gambar pasangan titik pada bidang kartesius dan hubungkan menjadi kurva mulus.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN183.a. Diketahuif(2) = 16 dan f(0) = 1Ditanya persamaan fungsi f(x).Alternatif jawaban:f(2) = 16 = 42f(0) = 1 = 40Maka persamaan fungsinya f(x) = 4xb. Diketahuif(-2) = 36 dan f(0) = 1Ditanya persamaan fungsi f(x).Alternatif jawaban:f(-2) = 36 = (16)−2f(0) = 1 = (16)0Maka persamaan fungsinya f(x) = (16)𝑥4.Misalkan: p0= massa zat radioaktif pada pukul 08.00P = laju peluruhant = waktu peluruhanPt= sisa zat radio aktif pada t.Diketahui: P0= 0,2 kgP = 10%T = 14.00 –08.00 = 6 jamDitanya: pt?Alternatif jawaban:P1= P0 -P0.10% = P0(1 –10%)P2= P1–P1.10% = P1(1 –10%) = P0(1 –10%)(1 –10%) = P0(1 –10%)2P3= P2–P2.10% = P2(1 –10%) = P0(1 –10%)2(1 –10%) = P0(1 –10%)3.........Pt= P0(1 –10%)tP6= 0,2(1 –10%)6=0,2.(1 –0,1)6= 0,2.(0,9)6P6= 0,2.0,5314 = 0,106Jadi sisa zat radio aktif pada pukul 14.00 adalah 0,106 kg atau 106 gram.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN19E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Kalian ketahui, berilah penilaiansecara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.NoPertanyaanYaTidak1Apakah Kalian telah memahami pengertian fungsieksponen?2Apakah Kalian telah memahami sifat-sifat fungsi eksponen?3Apakah Kalian dapat menggunakan sifat-sifat eksponen untuk menyelesaikan masalah?4Dapatkah Kalian dapat menggambarkan grafik FungsiEksponen dengan bilangan dasar a>1 dan 0<a<1?5Apakah Kalian dapat menyelesaikan masalah yang terkait fungsi eksponen?JUMLAHCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,Bila semua jawaban "Ya", maka Kalian dapat melanjutkan ke pembelajaranberikutnya.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN20KEGIATAN PEMBELAJARAN 2PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONENA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 2ini diharapkan peserta didik dapat mendeskripsikan persamaan dan pertidaksamaan eksponen, menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen, dan menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eskponen.B.Uraian MateriSetelah Kalian mempelajari fungsi eksponen dan penggunaannya, kita akan memperluas pembahasan dengan mempelajari persaman eksponen dan pertidaksamaan eksponen. 1. Persamaan EksponenPersamaan eksponen adalah suatu persamaan yang memuat variabel(peubah) sebagaieksponen bilangan berpangkat atau persamaan yang bilangan pokoknya memuat variabel(peubah) x.Contoh persamaan eksponen:•23𝑥−1=322𝑥merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variable x.•16𝑦+2.4𝑦+1=0merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel y.Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, diantaranya:a.Bentuk 𝒂𝒇(𝒙)=𝒂𝒑Untuk menyelesaikan persamaan ini digunakan sifat:Jika 𝑎𝑓(𝑥)=𝑎𝑝; a> 0dana≠1, maka f(x) = p.Contoh 1Tentukan himpunan penyelesaian dari:a. 52𝑥−1=625b. 22𝑥−7=132c. √33𝑥−10=127√3Jawaba. 52𝑥−1=62552𝑥−1=532x–1= 32x= 4x= 2Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{2}b. 22𝑥−7=13222𝑥−7=2−52x–7= –52x= 2
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN21x= 1Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1}c. √33𝑥−10=127√333𝑥−102=3−3.31233𝑥−102=3−523𝑥−102=−523x–10 = –53x= 5x= 53Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{53}.b.Bentuk𝒂𝒇(𝒙)=𝒂𝒈(𝒙)Penyelesaian persamaan ini digunakan sifat:Jika 𝑎𝑓(𝑥)=𝑎𝑔(𝑥)dengan a>0 dan a≠0, makaf(x) = g(x).Contoh 2.a. 9𝑥2+𝑥=27𝑥2−1b. 82x+1= 128x–3c. √8𝑥+2=√32𝑥−4Jawaba. 9𝑥2+𝑥=27𝑥2−132(𝑥2+𝑥)=33(𝑥2−1)2(x2+x) = 3(x2–1)2x2+2x= 3x2–3x2–2x–3 = 0(x–3)(x+ 1) = 0x= 3 atau x = –1Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {–1, 3}b. 82x+1= 128x–3(23)(2x+1) = (27)(x–3)26x+3 = 27x–216x+ 3 = 7x–21x= 24 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{ 24 }c. √8𝑥+2=√32𝑥−423𝑥+2=25𝑥−43𝑥+2=5𝑥−43(x–4) = 5(x+2)3x–12 = 5x+10–2x= 22x= –11Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {–11}
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22c.Bentuk𝒂𝒇(𝒙)=𝒃𝒇(𝒙)Penyelesaian persamaan ini digunakan sifat:Jika 𝑎𝑓(𝑥)=𝑏𝑓(𝑥)dengan a>0dan a≠1, b>0 dan b≠1, dan a≠bmaka f(x) =0.Contoh 3a. 6𝑥−3=9𝑥−3b. 7𝑥2−5𝑥+6=8𝑥2−5𝑥+6Jawaba. 6𝑥−3=9𝑥−3x–3= 0x= 3Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }b.7𝑥2−5𝑥+6=8𝑥2−5𝑥+6x2–5x+6 = 0(x–6)(x+1) = 0x= 6 ataux= –1Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {–1,6}d.Bentuk (𝒇(𝒙))𝒈(𝒙)=(𝒇(𝒙))𝒉(𝒙)Untuk menyelesaikan persamaan bentuk di atas perlu dipertimbangkanbeberpa kemungkinan:1)Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = 1 atau f(x) = 12)Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = −1, dengan syarat g(x) dan h(x) bernilai genap ataug(x) dan h(x) bernilai ganjil.3)Persamaan berlaku untuk bilangan pokok = 0 atau f(x) = 0, dengan syarat g(x)dan h(x) bernilai positif.4)Persamaan berlaku jika pangkatnya sama atau g(x) = h(x), dengansyarat untuk bilangan pokok = 0, pangkat bernilai positif, atau untuk f(x) = 0maka g(x) dan h(x) bernilai positif.Contoh5.Tentukan himpunan penyelesaian (3𝑥−10)𝑥2=(3𝑥−10)2𝑥Jawab(1)f(x) = 1 3x–10 = 13x= 11x= 113(2)f(x) = −1 3x–10 = −13x= 9x= 3Sekarang periksa untuk x= 3 apakah g(x) dan h(x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil.g(3) = 32= 9 (ganjil)h(3) = 2.3 = 6 (genap)berarti x= 3 bukan penyelesaian.(3)f(x) = 0 3x–10 = 0x= 103
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN23Periksa apakah untuk x= 103, g(x) dan h(x) sama-sama positif.g(103) = (103)2 = 1009>0h(103) = 2.(103)= 203>0g(x) dan h(x) >0, maka x= 103merupakan penyelesaian.(4)g(x) = h(x) 𝑥2=2𝑥𝑥2−2𝑥=0𝑥(𝑥−2)=0𝑥=0𝑎𝑡𝑎𝑢𝑥=2Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 103,113}.e.Bentuk 𝑨(𝒂𝒇(𝒙))𝟐+𝑩(𝒂𝒇(𝒙))+𝑪=𝟎Untuk menyelesaikan persamaan di atas, dilakukan dengan cara mengubah persamaan tersebut ke bentuk persamaan kuadrat. Memisalkan af(x)= p, maka persamaan di atas dapat diubah menjadi persamaan kuadrat Ap2+ B.p+ C =0.Contoh 6.Tentukan himpunan penyelesaian dari 22𝑥−2𝑥+3+16=0.Jawab22𝑥−2𝑥+3+16=022𝑥−2𝑥.23+16=0Dengan memisalkan 2x= p, maka persamaan menjadip2–8p+ 16 = 0(p–4)(p–4) = 0p= 4Untuk p= 4 ⇒2x= 42x= 22x= 2Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 2 }.2. Pertidaksamaan EksponenSetelah Kalian mempelajari materi persamaan eksponen, kita lanjutkan pembahasan pertidaksamaan eksponen. Sebelum membahas pertidaksamaan eksponen Kalian ingat kembali tentang sifat-sifat fungsi eksponen sebagai berikut:●Untuk a >1, fungsi f(x) = 𝑎𝑥merupakan fungsi naik. Artinya, untuk setiap 𝑥1,𝑥2∈𝑅,berlaku 𝑥1<𝑥2,jika dan hanya jika f(x1) <f(x2).●Untuk 0 <a <1, fungsi f(x) = 𝑎𝑥merupakan fungsi turun. Artinya, untuk setiap𝑥1,𝑥2∈𝑅berlaku 𝑥1<𝑥2jika dan hanya jika 𝑓(𝑥1)>𝑓(𝑥2).Berdasarkan sifat fungsi eksponen maka untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen dapat menggunakan ketentuan:
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN24a.Untuk a > 1•Jika𝑎𝑓(𝑥)>𝑎𝑔(𝑥), maka 𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)•Jika𝑎𝑓(𝑥)<𝑎𝑔(𝑥), maka 𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)b.0 < a < 1•Jika 𝑎𝑓(𝑥)>𝑎𝑔(𝑥), maka 𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)•Jika 𝑎𝑓(𝑥)<𝑎𝑔(𝑥), maka 𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)Contoh7.Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan (9)2𝑥−4≥(127)𝑥2−4.Jawab(9)2𝑥−4≥(127)𝑥2−4(32)2𝑥−4≥(3−3)𝑥2−434𝑥−8≥3−3𝑥2+124𝑥−8≥−3𝑥2+123𝑥2+4𝑥−20≥0(3𝑥+10)(𝑥−2)≥0𝑥≤−103atau𝑥≥2Himpunan penyelesaiannya ={𝑥|𝑥≤−103atau𝑥≥2}Contoh 8.Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 22𝑥+1−5.2𝑥+1+8≥0.Jawab22𝑥+1−5.2𝑥+1+8≥02.22𝑥−5.2.2𝑥+8≥0.............(dibagi 2)22𝑥−5.2𝑥+4≥0(2𝑥)2−5.2𝑥+4≥0Dengan memisalkan 2x= p, maka petidaksamaan menjadi:𝑝2−5𝑝+4≥0(p–1)(p–4) ≥0p≤1atau p≥42𝑥≤20atau2𝑥≥22𝑥≤0atau 𝑥≥2Jadi himpunan penyelesaiannya= {𝑥|𝑥≤0atau𝑥≥2}tanda pertidaksamaan berubahtanda pertidaksamaan tetap
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN25C.Rangkuman1.Persamaan eksponenUntuk a> 0, a≠ 1; b> 0, b≠ 1, maka berlaku:a.Jika 𝑎𝑓(𝑥)=𝑎𝑝, maka 𝑓(𝑥)=𝑝.b.Jika 𝑎𝑓(𝑥)=𝑎𝑔(𝑥), maka 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥).c.Jika 𝑎𝑓(𝑥)=𝑏𝑓(𝑥), maka 𝑓(𝑥)=0.d.Jika [ℎ(𝑥)]𝑓(𝑥)=[ℎ(𝑥)]𝑔(𝑥), maka:•𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)•ℎ(𝑥)=1•ℎ(𝑥)=0untuk 𝑓(𝑥)>0dan 𝑔(𝑥)>0•ℎ(𝑥)=−1untuk 𝑓(𝑥)dan 𝑔(𝑥)keduanya ganjil atau keduanya genape.Jika 𝐴{𝑎𝑓(𝑥)}2+𝐵{𝑎𝑓(𝑥)}+𝐶=0, maka dapat diselesaikan dengan cara mengubah ke bentukpersamaan kuadrat.2.Pertidaksamaan eksponena.Untuk a > 1•Jika 𝑎𝑓(𝑥)>𝑎𝑔(𝑥), maka 𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)•Jika 𝑎𝑓(𝑥)<𝑎𝑔(𝑥), maka 𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)b.Jika 0 < a < 1•Jika 𝑎𝑓(𝑥)>𝑎𝑔(𝑥), maka 𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)•Jika 𝑎𝑓(𝑥)<𝑎𝑔(𝑥), maka 𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)D.Latihan SoalTentukan himpunan penyelesaian dari:1.2𝑥2−3𝑥=162.25𝑥+2=53𝑥−43.72−𝑥−492−𝑥+42=04.24𝑥−5>82𝑥+75.52x–6.5x+1+ 125 > 0
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26PEMBAHASAN LATIHAN SOAL1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2𝑥2−3𝑥=16Alternatif penyelesaian:2𝑥2−3𝑥=162𝑥2−3𝑥=24𝑥2−3𝑥=4𝑥2−3𝑥−4=0(𝑥+1)(𝑥−4)=0x= −1 atau x= 4Jadi himpunan penyelesaiannya={−1, 4}2. Tentukan himpunan penyelesaian dari: 25x + 2 = 53x –4Alternatif penyelesaian:25x + 2 = 53x –4(52)x + 2 = 53x –452x+4= 53x-42x+ 4 = 3x–4 4 + 4 = 3x–2x8 = x.Jadi himpunan penyelesaiannya={8}3. Tentukan himpunan penyelesaian dari72−𝑥−492−𝑥+42=0Altenatif penyelesaian:72−𝑥−492−𝑥+42=072−𝑥−(72)2−𝑥+42=072−𝑥−(72−𝑥)2+42=0Misalkan p= 72–x, maka diperolehp –p2+ 42 = 0 ........ (kedua ruas dikalikan −1)p2–p –42 = 0 ↔(p + 6)(p –7) = 0p = –6 atau p = 7untuk p = 6 diperoleh72 –x = –6 (tidak memenuhi)untuk p = 7diperoleh72 –x = 7 72 –x= 712 –x = 1 x = 3Jadi himpunan penyelesaiannya ={ 3 }4. Tentukan himpunan penyelesaian dari24𝑥−5>82𝑥+7Alternatif penyelesaian:24𝑥−5>82𝑥+7(a>0, tanda tetap)24𝑥−5>(23)2𝑥+724𝑥−5>26𝑥+214𝑥−5>6𝑥+214𝑥−6𝑥>21+5−2𝑥>26(kedua ruas dikalikan −12)x<13Jadi himpunan penyelasaiannya={x| x<13, x∈𝑅}
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN275. Tentukan himpunan penyelesaian dari 52x–6⋅5x+1+ 125 > 0Alternatif penyelesaian:52x–6⋅5x+1+ 125 > 0 (5x)2–6⋅5.5x+ 125 > 0Misalkan 5x= pP2–30p + 125 >0(p –5)(p -25) > 0P < 5 atau p > 255x< 5 atau 5x> 25 ↔5x> 52( a>0, jadi tanda tidak berubah)x< 1 atau x> 2Jadi himpunan penyelasaiannya: {x| x< 1 atau x> 2, x∈𝑅}E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Kalian ketahui, berilah penilaiansecara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.NoPertanyaanYaTidak1Apakah Kalian dapat menjelaskan persamaan eksponen dan pertidaksamaan eksponen?2Apakah Kalian dapat membedakan persamaan eksponen dengan persamaan aljabar lainnya?3Apakah Kalian dapat membedakan pertidaksamaan eksponen dengan pertidaksamaan aljabar lainnya?4Apakah Kalian dapat menentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen?5Apakah Kalian dapat menentukan himpunan penyelesaianpertidaksamaan eksponen?JUMLAHCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,Bila semua jawaban "Ya", maka Kalian dapat melanjutkan ke pembelajaranberikutnya.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN28KEGIATAN PEMBELAJARAN 3FUNGSI LOGARITMAA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 3ini diharapkan peserta didik dapat mendeskripsikan fungsi logaritma, menentukan penyelesaian fungsi logaritma, menggunakan masalah kontekstual yang terkait dengan logaritma, dan menyajikan fungsi logaritma, serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi logaritma.B.Uraian Materi1. Pengertian Logaritma Setelah Kalian selesai mempelajari fungsi eksponen,mari kita kembangkan pembahasan kita pada materi logaritma. Untuk memahami pengertian logaritma dan sifatnya, coba Kalian perhatikan pernyataan pq= r. Bagaimanakah menyatakan pdalam qdan r? Jawabnya adalah 𝑝=𝑟𝑞, dengan𝑞≠0. Kemudian kita perhatikan pernyataan 32=9. Bagaimanakah menyatakan 3 dalam 2 dan 9? Jawabnya 3=√92. Bagaimanakah menyatakan 2 dalam 3 dan 9? Jawabnya 2 adalah pangkat dari 3 sehingga 32=9. Jika kita ambil secara umum 𝑎𝑦=𝑥, maka yadalah eksponen dari asehingga 𝑎𝑦=𝑥, dan pernyataan untuk yini bisa ditulis dalam bentuk 𝑦=𝑎log𝑥atau 𝑥dengan aadalah bilangan dasar atau basis dan yadalah eksponennya.Untuk lebih jelas, coba perhatikan tabel berikut.Tabel 1. Hasil perpangkatandan logaritma
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN29Dari tabel di atas dapat dilihat antara lain:23=82log8=322=42log4=221=22log2=120=12log1=02−1=122log12=−1Sehinggadisimpulkan 2𝑥=𝑦2log𝑦=𝑥Jika bilangan pokoknya a, dari 𝑎log𝑦=𝑥atau 𝑥=𝑎log𝑦diperoleh:𝑓−1(𝑦)=𝑎log𝑦sehingga 𝑓−1(𝑥)=𝑎log𝑥Jika 𝑓−1dinamakan g(x), maka 𝑔(𝑥)=𝑎log𝑥. Fungsi 𝑔:𝑥→𝑎log𝑥dinamakan fungsi logaritma.Dari paparan di atas cukup jelas bahwa logaritma secara dasar merupakan operasi matematika yang merupakan kebalikan (invers) dari eksponen. Artinya, untuk mencari nilai dari suatu bilangan logaritma harus membalikkan fungsi dari eksponensial.Logaritma didefinisikan sebagai berikut:Misalkan aadalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < a< 1 atau a> 1) dan bbilangan positif (b> 0)𝑎log𝑏=𝑐jika dan hanya jika 𝑎𝑐=𝑏dimana: a disebutbilangan pokok ataubasis logaritma (0 < a < 1 atau a > 1)b disebut numerus, dengan syaratb > 0.c disebut hasil logaritmaDari definisi bahwa logaritma merupakan invers dari eksponen, maka kita dapat menurunkan sifat-sifat logaritma dari sifat-sifat eksponen sebagai berikut:Untuk a> 0dana≠ 1, b> 0, c> 0, m> 0danm≠ 1, a, b, c, m, nR, berlaku:a.𝑎log𝑎=1b.𝑎log1=0c.𝑎log𝑎𝑛=𝑛d.𝑎log(𝑏×𝑐)=𝑎log𝑏+𝑎log𝑐e.𝑎log(𝑏𝑐)=𝑎log𝑏−𝑎log𝑐f.𝑎log𝑏𝑛=𝑛.𝑎log𝑏g.𝑎log𝑏=𝑚log𝑏𝑚log𝑎=1𝑏log𝑎h.𝑎log𝑏×𝑏log𝑐=𝑎log𝑐Sifat-sifat logaritma sangat dibutuhkan dalam menyelesaikanmasalah-masalah logaritma.Untuk lebih memahami sifat-sifat logaritma,silahkan perhatikan contoh-contoh berikut:
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN30Contoh 1.Sederhanakan bentuk logaritma berikut:a.2log 8 + 2log 4b.𝑎log1𝑏×𝑏log1𝑐×𝑐log1𝑎c.3log24−3log2√3+2.3log19+3log214Jawaba.2log 8 + 2log 4 = 2log (84)= 2log 32= 2log 25= 5. 2log 2= 5.1= 5b.𝑎log1𝑏×𝑏log1𝑐×𝑐log1𝑎=𝑎log𝑏−1×𝑏log𝑐−1×𝑐log𝑎−1=(−𝑎log𝑏)×(−𝑏log𝑐)×(−𝑐log𝑎)=−𝑎log𝑏×𝑏log𝑐×𝑐log𝑎=−𝑎log𝑎=−1c.3log24−3log2√3+2.3log19+3log214=3log24−3log2√3+3log(19)2+3log94=3log24×181×942√3=3log232√3=3log13√3=3log1332=3log3−32=−32Contoh 2.Diketahui5log3=𝑎dan3log4=𝑏, tentukan12log75dalam adan b.Jawab12log75=3log753log12=3log(3×25)3log(3×4)=3log3+3log253log3+3log4=3log3+3log523log3+3log4=1+2.3log51+3log4=1+2×1𝑎1+𝑏=𝑎+2(1+𝑏)𝑎
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN31Contoh 3.Diketahui 9log8=3𝑚, tentukan 4log3.Jawab32log23=3𝑚32.3log2=3𝑚3log2=23×3𝑚=2𝑚Sehingga diperoleh4log3=13log3=13log22=12×3log2=12×2𝑚=14𝑚2. Fungsi Logaritma Logaritma adalah invers dari perpangkatan atau eksponen. Oleh karena itu fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen. Fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut.Fungsi logaritma dengan bilangan pokok a(a> 0 dan a1) adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum:𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥Fungsi 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥merupakan fungsi invers dari fungsi eksponen 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎𝑥Beberapa hal yang perlu diperhatikan pada fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥.a.aadalah bilangan pokok atau basis bagi fungsi 𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥dengan ketentuan a> 0 dan a1 (0 < a< 1 atau a> 0).b.Daerah asal (domain) fungsi 𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥adalah 𝐷𝑓={𝑥|𝑥>0,𝑥∈𝑹}c.Daerah hasil (range) fungsi 𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥adalah 𝑅𝑓={𝑦|𝑦∈𝑹}Menggambar sketsa grafik fungsi logaritmadapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.1. Buat daftaratau tabel yang menunjukkan hubungan antara nilai-nilai xdengan nilai-nilai𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥.2. Titik-titik dengan koordinat (x, y) yang diperoleh digambarkan pada bidang kartesius, kemudian dihubungkan dengan kurva mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥.Menggambar Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1Sifat-sifat fungsi logaritma 𝑓:𝑥→𝑎log𝑥dengan basis a> 1 dapat dipelajari melalui grafik fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥.Contoh 4.Gambar grafik fungsi y= f(x) = 2log x( x> 0 dan xR)
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN32JawabTabel yang menunjukkan hubungan antara xdengan y= f(x) = 2log xsebagai berikut.x→0...1814121248...→y = 2log x→−...−3−2−101 2 3...→0Setiap titik (x, y) yang diperoleh pada tabel di atas digambar pada bidang kartesius, selanjutnya titik-titik tersebut dihubungkan dengan kurva mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma y= f(x) = 2log xberikut.Gambar 1.Grafik fungsi y= f(x) = 2log xBerdasarkan grafik di atas, kita dapat mempelajari sifat-sifat fungsi logaritma y= f(x) = 2log xsebagai berikut.a.Jika nilai xbertambah besar maka nilai y= f(x) = 2log xjuga menjadi besar, tetapi pertambahan nilai ylebih lambat dibandingkan dengan pertambahan nilai x.b.Fungsi logaritma y= f(x) = 2log xadalah fungsi monoton naik, sebab grafik ini naik dari kiri-bawah ke kanan-atas. Dalam bahasa logika matematika ditulis:x2> x12log x2> 2log x1c.Grafik fungsi logaritma y= f(x) = 2log xmemotong sumbu Xdi titik (1, 0).d.Grafik fungsi logaritma y= f(x) = 2log xselalu berada di sebelah kanan sumbu Y atau x> 0. Ini berarti grafik fungsi logaritma y= f(x) = 2log xtidak pernah memotong sumbu Y. Sumbu Ybertindak sebagai asimtot tegak bagi fungsi logaritma y= f(x) = 2log x.e.Fungsi logaritma y= f(x) = 2log xterdefinisi untuk x> 0 dan xR, sehingga domain fungsi fadalah Df= {x| x> 0 dan xR}.f.Fungsi logaritma y= f(x) = 2log xdapat bernilai positif, nol, atau negatif, sehingga range fungsi fadalah Rf= {y| yR}.g.Fungsi logaritma y= f(x) = 2log xmerupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN33Menggambar Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a <1Sifat-sifat fungsi logaritma 𝑓:𝑥→𝑎log𝑥dengan basis 0 < a< 1 dapat dipelajari melalui grafik fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥.Contoh 5.Gambar grafik fungsi 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥( x> 0 dan xR)JawabTabel yang menunjukkan hubungan antara xdengan 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥sebagai berikut.x→0...1814121248...→y =12log𝑥→...3210−1 −2 −3...→−Setiap titik (x, y) yang diperoleh pada tabel di atas digambar pada bidang kartesius, selanjutnya titik-titik tersebut dihubungkan dengan kurva mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥berikut.Gambar 2. Grafik fungsi 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥Berdasarkan grafik di atas, kita dapat mempelajari sifat-sifat fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥sebagai berikut.a.Jika nilai xbertambah besar maka nilai 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥semakin kecil dengan pengurangan yang semakin melambat.b.Fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥adalah fungsi monoton turun, sebab grafik ini turun dari kiri-atas ke kanan-bawah. Dalam bahasa logika matematika ditulis:x2> x112log𝑥2< 12log𝑥1
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN34c.Grafik fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥memotong sumbu X di titik (1, 0).d.Grafik fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥selalu berada di sebelah kanan sumbu Y atau x> 0. Ini berarti grafik fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥tidak pernah memotong sumbu Y. Sumbu Ybertindak sebagai asimtot tegak bagi fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥.e.Fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥terdefinisi untuk x> 0 dan xR, sehingga domain fungsi fadalah Df= {x| x> 0 dan xR}.f.Fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥dapat bernilai positif, nol, atau negatif, sehingga range fungsi fadalah Rf= {y| yR}.g.Fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=12log𝑥merupakan fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.Setelah Kalian mempelajari tentang grafik fungsi logaritmadi atas, maka secara umum dapat kita simpulkan sifat-sifat fungsi logaritma sebagai berikut:a.Selalu memotong sumbu Xdi titik (1,0).b.Merupakan fungsi kontinu.c.Tidak pernah memotong sumbu Ysehingga dikatakan sumbu Y sebagai asimtot tegak.d.fmerupakan fungsi naik jika a>1dan merupakan fungsi turun jika 0<a<1.e.Grafik fungsi 𝑓(𝑥)=2log𝑥dan 𝑓(𝑥)=12log𝑥simetris terhadap sumbu X.Konsep dan fungsi logaritma sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya dalam ilmu kimia, logaritma digunakan untuk menentukan kadar keasaman suatu larutan. Dalam ilmu fisika,logaritma digunakan untuk menentukan taraf intensitas suatu bunyi. Logaritma juga digunakan untuk menentukan besarnya skala Richter yang biasa digunakan dalam satuan skala besarnya kegempaan. Fungsi logaritma juga bisa digunakan dalam ilmu perbankan, yaitu untuk menghitung besarnya bunga majemukyangtermasukfungsi pertumbuhan (monoton naik).Untuk mengetahui lebih jauh pemanfaatan fungsi logaritma dalam kehidupan sehari-hari, coba Kalian perhatikan beberapa contoh berikut.Contoh 6.Apa yang Kalian rasakan ketika minum air perasan buah jeruk? Kemungkinan besar ada rasa agak asam yang Kalian rasakan. Berbeda ketika Kalian minum air mineral, pasti rasa netral yang dirasakan. Rasa asam dan netral itu karena adanya kadar keasaman pada larutan yang diminum. Orang kimia mengukur kadar keasaman larutan dengan besaran yang disebut pH, yang didefinisikan sebagai fungsi logaritma p(t)= −logt, dengan tkonsentrasi ion hidrogen (+H) yang dinyatakan dalam mol perliter (mol/L). Nilai pH biasanya dibulatkan dalam satu decimal. Mari kita mencoba untukmenghitung berapa pH suatu larutan yang konsentrasi ionhidrogennya 2,5 10-5mol/L?Jawab Pada larutan yang akan kita hitung pH-nya ini diketahui konsentrasi ion hidrogen t= 2,5 10-5 , sehinggadiperolehp(t)= −log tp(t)= −log (2,5 10-5)
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN35p(t)= −(log 2,5 +log 10-5)p(t)= −(0,4 –5) = 4,6 .......... (nilai log 2,5 dengan kalkulator 0,39794) Jadi,nilai pH larutan tersebut adalah 0,4.Contoh 7.Adinda adalah seorang pelajar kelas XII di kota Tangerang. Ia senang berhemat dan menabung uang. Selama ini dia berhasil menabung uangnya sejumlah Rp5.000.000,00 di dalam sebuah celengan yang terbuat dari tanah liat. Agar uangnya lebih aman, ia menabung uangnya di sebuah bank dengan bunga 5% per tahun. Berapa lama Adinda menyimpan uang tersebut agar menjadi dua kali lipat?JawabMisalkan:M0 = Modal AwalMt= Modal setelah menabung t tahuni = bunga pertahunDiketahui modal awal (M0) = Rp5.000.000,00 dan uang tabungan setelah sekian tahun (Mt) = 2 M0= Rp10.000.000,00., besar bunga yang disediakan bank untuk satu tahun adalah i=5% = 0,05.Perhatikan pola pertambahan jumlah uang Adinda setiap akhir tahun pada tabel berikut.Akhir Tahun(t)Bunga (5%Total Uang)Total = Modal + bungaPola Total Uang saat t0Rp. 0Rp. 5.000.0005.000.000(1+0,05)01Rp. 250.000Rp. 5.250.0005.000.000(1+0,05)12Rp. 262.500Rp. 5.512.5005.000.000(1+0,05)23Rp. 275.625Rp. 5.788.1255.000.000(1+0,05)34Rp. 289.406,25Rp. 6.077.531,255.000.000(1+0,05)45Rp. 303.876,5625Rp. 6.381.407,8135.000.000(1+0,05)56Rp. 319.070,3906Rp. 6.700.478,2035.000.000(1+0,05)67Rp. 335.023,9102Rp. 7.035.502,1135.000.000(1+0,05)78Rp. 351.775,1057Rp. 7.387.277,2195.000.000(1+0,05)8............t5.000.000(1+0,05)tDari tabel terlihat: Mt= M0(1 +i)t10.000.000 = 5.000.000(1+0,05)t(1+0,05)t= 10.000.0005.000.000= 2Gunakan sifat logaritma log pn= n.log plog (1,05)t= log 2t.log (1,05) = log 2t= 𝑙𝑜𝑔(1,05)𝑙𝑜𝑔𝑙𝑜𝑔2(gunakan kalkulator atau table logaritma)t = 14,04Jadi,tabungan Adinda akan menjadi dua kali lipat setelah 14,04 tahun.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN36Catatan:Dalam logaritma, jika bilangan pokoknya 10, maka bilangan pokoknya sering tidak dituliskan, sehingga 10log7bisa ditulis log 7 saja.C.Rangkuman•Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen. Bentuk umum fungsi logaritma adalah 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥, dengan a> 0 dan a1, x> 0, a,x, yR.•Daerah asal (domain) fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥adalah Df= {x| x> 0, xR}•Daerah hasil(range) fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥adalah Rf= {y|yR}.•Fungsi logaritma 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎log𝑥merupakan fungsi monoton naik untuk a> 1, dan merupakan fungsi monoton turun untuk 0 < a< 1.D.Latihan Soal1.Tentukan nilai logaritma berikut:a.8log 32b.1.3log6+1.2log6c.3log 18 –3log 22.Diketahui .3log4=𝑎dan .3log5=𝑏, tentukan .8log20.3.Tentukan nilai dari(.5log10)2−(.5log2)2.5log√204.Tabel berikut merupakan data naiknya suhu logam setelah dipanaskan dalam waktu tertentu.x= waktu191313927y= suhu-2-10123a.Berdasarkan tabel di atas, tulislah persamaan yang menyatakan hubungan antarawaktudengan suhu logam yang dipanaskan.b.Gambar grafik fungsi yang menggambarkan hubungan waktu dan suhu.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN37PEMBAHASAN SOAL LATIHAN1.Alternatif penyelesaiana..8log32=.23log25=53×.2log2=53×1=53b.1.3log6+1.2log6=.6log3+.6log2=.6log6=1c.3log 18 –3log 2 = 3log 182= 3log 9 = 3log 32= 2.3log 3 = 2.1 = 22.Alternatif penyelesaian.8log20=.3log20.3log8=.3log(4×5).3log(4×2)=.3log4+.3log5.3log4+.3log2=𝑎+𝑏𝑎+𝑎2=2𝑎+2𝑏3𝑎3.Alternatif penyelesaian(.5log10)2−(.5log2)2.5log√20=(.5log10+.5log2)(.5log10−.5log2).5log2012= (.5log20)(.5log5)12×.5log20=112=24.Tabel data naiknya suhu logam setelah dipanaskan dalam waktu tertentu.x = waktu191313927y = suhu-2-10123Alternatif penyelesaiana.Dari tabel dapat diperoleh hubungan:f(1) = 0 = 3log 1f(3) = 1 = 3log 3 f(9) = 2 = 3log 9 = 3log 32persamaan fungsinya adalah f(x) = 3log xJadi, persamaan yang menyatakan hubungan antara waktudengan suhu logam yang dipanaskan adalah y= 3log x.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN38b.Gambar pasangan titik pada tabel dalam bidang kartesius dihubungkan dengan kurva mulusseperti pada gambar berikut.E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Kalian ketahui, berilah penilaiansecara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.NoPertanyaanYaTidak1Apakah Kalian dapat mendeskripsikan fungsi logaritma?2Apakah Kalian dapat menggunakan sifat-sifat fungsi logaritma?3Apakah Kalian dapat menggambar grafik fungsi logaritma?4Apakah Kalian dapat menjelaskan sifat-sifat dari grafik fungsi logaritma?5Apakah Kalian dapat menyelesaikan masalah yang terkait fungsi logaritma?JUMLAHCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,Bila semua jawaban "Ya", maka Kalian dapat melanjutkan ke pembelajaranberikutnya.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN39KEGIATAN PEMBELAJARAN 4PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAANLOGARITMAA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 4ini diharapkan peserta didik dapatmendeskripsikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma, menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma, dan menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma.B.Uraian Materi1. PersamaanLogaritma Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel. Contoh persamaan logaritma:a. 2log (x–2) + 2log (x–3) = 1b. log (x–1) + log (x–2) = log (3x+ 2)c. xlog (x+2) + xlog (x–3) + xlog 2= xlog 12contoh (a) dan (b) adalah contoh persamaan logaritma yang numerusnya mengandung variabel x, sedangkan contoh (c) adalah contoh persamaan logaritmayang numerus dan bilangan pokoknya mengandung variabel.Ada beberapa bentuk persamaan logaritma, antara lain:1.Bentuk alog f(x) = alog pJika alog f(x) = alog p, maka f(x) = pasalkan f(x) > 0Contoh 1.Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma 2log (x–2) + 2log (x–3) = 1Jawab2log (x–2) + 2log (x–3) = 1Syarat bagi numerus : (i). x –2 > 0atau x > 2(ii). x–3 > 0atau x> 3 jadi syarat numerusnya harus x> 3.Penyelesaian persamaan 2log (x–2) + 2log (x–3) = 12log (x–2)(x–3) = 2log 2(x–2)(x–3) = 2 x2–5x+ 6 –2 = 0x2–5x+ 4 = 0(x–1)(x–4) = 0x= 1 atau x= 4.dari persyaratan numerus diperoleh x> 3, sehingga nilai xyang memenuhi persamaan logaritma adalah x= 4.Jadi, himpunan penyelesaianadalah{ 4 }.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN402.Bentuk alog f(x) = blog f(x)Jika alog f(x) = blog f(x) (dengan a b), maka f(x) = 1Contoh 2.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma 3log (x2–x–1) = 7log (x2–x–1)Jawab3log (x2–x–1) = 7log (x2–x–1), makax2–x–1 = 1x2–x–2 = 0(x–2)(x+ 1) = 0x= 2 atau x= –1Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–1, 2 } 3.Bentuk alog f(x) = alog g(x)Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif.Contoh 3.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan log (x–1) + log (x–2) = log (3x+ 2)Jawablog (x–1) + log (x–2) = log (3x+ 2)syarat bagi numerus :(i). x–1 > 0atau x> 1(ii). x–2 > 0atau x> 2(iii). 3x+ 2 > 0 atau x>23−Sehingga syarat ini mengharuskan x> 2Penyelesaian persamaan:log (x–1) + log (x–2) = log (3x+ 2)log (x–1)(x–2) = log (3x+ 2)(x–1)(x–2) = (3x+ 2)x2–3x+ 2 = 3x+ 2x2–6x= 0x(x–6) = 0x= 0 atau x= 6Dari persyaratan numerus mengharuskan x> 2, sehingga nilai xyang memenuhiadalah x= 6.Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 6 } 4.Bentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x) 1.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN41Contoh 4.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2x–5 log (2x+ 1) = 2x–5 log (x+ 4) Jawab2x–5 log (2x+ 1) = 2x–5 log (x+ 4)syarat bagi numerus:(i). 2x+ 1 > 0 atau x> –½ (ii). x+ 4 > 0 atau x> –4Jadi, persyaratan numerus harus x> –½ Penyelesaian persamaan:2x–5 log (2x+ 1) = 2x–5 log (x+ 4)2x+ 1 = x+ 42x–x= 4 –1 x= 3Substitusi x= 3 ke basis 2x–5, diperoleh 2(3) –5 = 1Karena syarat h(x) 1 tidak terpenuhi, maka x= 3 bukan penyelesaian.Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { } atau .5.Bentuk A[ alog x]2+ B[ alog x] + C = 0Solusinya dengan mengubah persamaan logaritma ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan alog x= P.Contoh 5.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3log2 x–3log x5+ 4 = 0Jawab3log2 x–3log x5+ 4 = 0(3logx)2–5. (3log x) + 4 = 0Misalkan 3log x= P, maka diperoleh: P2–5P + 4 = 0 (P –1)(P –4) = 0P = 1 atau P = 43log x= 1atau 3log x= 4x= 31= 3ataux= 34= 81Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 3, 81 }2. Pertidaksamaan LogaritmaPertidaksamaan logaritmaadalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel.Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, kita dapat menggunakan sifat fungsi logaritma yaitu monoton naik dan monoton turun. Sifat-sifat tersebut dapat kita deskripsikan sebagai berikut.Sifat Fungsi Logaritma Monoton Naik ( a > 1 )•Jika alogf(x)alog g(x), maka f(x) g(x) ; f(x)> 0dan g(x) > 0•Jika alogf(x)alog g(x), maka f(x) g(x) ; f(x)> 0dan g(x) > 0
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN42Sifat Fungsi Logaritma Monoton Turun ( 0 < a < 1 )•Jika alogf(x)alog g(x), maka f(x) g(x) ; f(x)> 0dan g(x) > 0•Jika alogf(x)alog g(x), maka f(x) g(x) ; f(x)> 0dan g(x) > 0Contoh6.Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan2log x22log (2x–1).Jawab2log x22log (2x–1)(i) Syarat numerus : ▪x2> 0, maka x> 0▪2x–1 > 0, maka x> ½ (ii) Penyelesaian pertidaksamaan:x22x–1 x2–2x–1 0(x–1)20................. bentuk ini dipenuhi oleh semua bilangan realMaka xRIrisan darihasil(i) dan (ii) diperolehx> ½(perhatikan gambar garis bilangan di bawah)Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ x| x> ½, xR}Contoh7.Tentukan penyelesaian dari 122log(2)2xx+ − −Jawab122log(2)2xx+ − −(i) syarat numerus: x2+ x–2 > 0(x+ 2)(x–1) > 0x< –2 atau x> 1(ii) penyelesaian pertidaksamaan :122log(2)2xx+ − −11222log(2)log 4xx+ − x2+ x–2 4 x2+ x-6 0(x+ 3)(x-2) 0
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN43x–3 atau x2Irisan darihasil(i) dan (ii) diperolehx–3 atau x2(perhatikan gambar garis bilangan di bawah)Jadi, himpunan penyelesaiannyaadalah{ x|x–3 atau x2, x R}.C.Rangkuman•Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel.•Bentuk-bentuk persamaan logaritma:a.Bentuk alog f(x) = alog pJika alog f(x) = alog p, maka f(x) = pasalkan f(x) > 0b.Bentuk alog f(x) = blog f(x)Jika alog f(x) = blog f(x) (dengan a b), maka f(x) = 1c.Bentuk alog f(x) = alog g(x)Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif.d.Bentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x) 1.e.Bentuk A[ alog x]2+ B[ alog x] + C = 0Solusinya dengan mengubah persamaan logaritma ke dalam bentuk persamaan kuadrat dengan memisalkan alog x= P.•Pertidaksamaan logaritmaadalah pertidaksamaan yang numerusnya mengandung variabel, dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung variabel.•Sifat Fungsi Logaritma Monoton Naik ( a > 1 )Jika alogf(x)alog g(x), maka f(x) g(x) ; f(x) > 0 dan g(x) > 0Jika alogf(x)alog g(x), maka f(x) g(x) ; f(x) > 0 dan g(x) > 0•Sifat Fungsi Logaritma Monoton Turun ( 0 < a < 1 )Jika alogf(x)alog g(x), maka f(x) g(x) ; f(x) > 0 dan g(x) > 0Jika alogf(x)alog g(x), maka f(x) g(x) ; f(x) > 0 dan g(x) > 0
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN44D.Latihan Soal1.Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut:a.2log (x2+ 4x) = 5b.log (x-2) + (log (x–7) = log 6c.3log2x–2.3log x2–8 = 0d.2x –5log (2x + 1) = 2x –5log (2x + 4)2.Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut:a.3log (x–2) <2b.2log (x-3) + 2log (x+ 3) ≥4c.2.log x≤log (2x+ 5) + 2.log 2d.2log2x+ 2.2log 2x>2
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN45PEMBAHASAN SOAL LATIHAN1.Alternatif penyelesaiana.2log (x2+ 4x) = 52log (x2+ 4x) = 2log 25= 2log 32Pada logarima harus dipenuhi (syarat numerus): x2+ 4x> 0x(x+ 4)> 0x<-4 atau x> 0jadi syarat logartima: x<–4 atau x> 0Syarat persamaan: 2log (x2+ 4x) = 2log 32x2+ 4x= 32 x2+ 4x–32 = 0(x–4)(x+8)=0x= –8 atau x= 4Jadi himpunan penyelesaiannyaadalah{–8, 4}b.log (x–2) + (log (x–7) = log 6syarat numerus: x–2>0x> 2, x–7 > 0 x > 7jadi syaratnumerus: x > 7Syarat persamaan:log (x-2) + (log (x–7) = log 6log (x–2).(x–7) = log 6log (x2–9x+ 14 = log 6x2–9x+ 14 = 6x2–9x+ 8 = 0(x–1)(x–8 ) = 0𝑥=1(tidak memenuhi) atau x = 8Jadi himpunan penyelesaiannyaadalah{ 8 }c.3log2x–2.3log x2–8 = 03log2x–4.3log x–8 = 0 Misal 3log x = p, maka diperolehp2–4p–8 = 0(p–4)(p+ 2) = 0p= 4 atau p= –23log x = 4 atau 3log x = –2x= 34= 81atau x= 3−2= 19Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {19, 81}d.2x –5log (2x + 1) = 2x –5log (2x + 4)Syarat numerus:2x–5 ≠ 1 x≠ 3
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN462x+ 1> 0 ↔𝑥>−122x+ 4> 0 ↔x> -2Syarat: x≠ 3 dan x> −12Syarat persamaan:2x -5log (2x+ 1) = 2x –5 log (x+ 4)2x+ 1 = x+ 4x= 3Karena x≠ 3, maka himpunan penyelesaiannya adalah{}.2.Alternatif penyelesaiana.Syarat numerus: x–2 > 0 x> 2Syarat persamaan:3log (x–2) <23log (x–2) < 3log 32Karena a > 0, maka tanda tidak berubah.x–2 < 9x< 11Syarat: x> 2Jadi himpunan penyelesaiannyaadalah{x| 2 < x< 11, x∈R }b.2log (x-3) + 2log (x+ 3) ≥4Syarat numerus: x–3 > 0𝑥>3x+ 3 > 0 𝑥>−3Syarat persamaan:2log (x-3) + 2log (x+ 3) ≥42log (x-3) + 2log (x+ 3) ≥2log 242log (x–3)(x+ 3) ≥2log 16(x–3)(x+ 3 ) ≥16(x2-9 ) ≥16x2-9 -16 ≥0(x2-25 ) ≥0(x + 5 )(x–5) ≥0x≤-5 atau x≥5Syarat numerus: x> 3Jadi, himpunan penyelesaianadalah {x| x≥5 , x∈R }c.2.log x≤log (2x+ 5) + 2.log 2Syarat numerus: x> 02x + 5 > 0 x> −52Syarat persamaan:2.log x≤log (2x+ 5) + 2.log 2 log x2≤log (2x+ 5) + log 22log x2≤log 4(2x+ 5) log x2≤log (8x+ 20)
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN47x2≤(8x+ 20) x2–8x–20 ≤0(x + 2)(x–10)≤0-2 ≤x≤10Irisan dengan syarat numerus jadi 0 ≤x≤10Himpunan penyelesaiannyaadalah{x| 0 ≤x≤10, x∈𝑅}d.2log2x+ 2.2log 2x>2Syarat numerous: x> 0Syarat persamaan:2log2x+ 2.2log 2x>2 ↔2log2x+ 2.(2log 2 + 2log x) > 22log2x+ 2.1 + 2.2log x–2 > 02log2x+ 2.2log x > 0Misalkan2log x= p, maka diperolehp2+ 2p > 0 ↔p(p + 2) > 0p< -2 atau p > 02log x< -2 atau 2log x> 0x< 14atau x> 1Irisan dengan syarat numerous jadi: 0 x < 14atau x > 1Jadi himpunan penyelesaiannya: {x|0 x< 14atau x> 1, x∈R}E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Kalian ketahui, berilah penilaiansecara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda pada kolom pilihan.NoPertanyaanYaTidak1Apakah Kalian dapat menjelaskan persamaan logaritma dan pertidaksamaan logaritma?2Apakah Kaliandapat membedakan persamaan logaritma dengan persamaan aljabar lainnya?3Apakah Kalian dapat membedakan pertidaksamaan logaritma dengan pertidaksamaan aljabar lainnya?4Apakah Kalian dapat menentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma?5Apakah Kalian dapat menentukan himpunan penyelesaianpertidaksamaan logaritma?JUMLAHCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran,Bila semua jawaban "Ya", maka Kalian dapat melanjutkan ke pembelajaranberikutnya.
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN48EVALUASI1.Bentuk (𝑥23𝑦−43𝑦23𝑥2)−34dapat disederhanakan menjadi....A. √𝑥𝑦2B. 𝑥√𝑦C. √𝑥2𝑦D. 𝑥𝑦√𝑦E. 𝑥𝑦√𝑥2.Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini! Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah...A.𝑓(𝑥)=3𝑥B.𝑓(𝑥)=3𝑥+1C.𝑓(𝑥)=3𝑥−1D.C. 𝑓(𝑥)=3𝑥−1E.D. 𝑓(𝑥)=3𝑥+13.Penyelesaian persamaan √32𝑥+1=9𝑥−2adalah ....A. 0 B. 1 ½ C. 2 D. 3 ½ E. 4 ½ 4.Jika√8𝑥−13=√32𝑥4, maka x= ....A. −4B. −2C. 0 D. 2 E. 45.Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan32𝑥+1+9−28.3𝑥>0adalah...A.x> −1 atau x> 2B.x< −1 atau x< 2C.x< 1 atau x> 2XY021082
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN49D.x< −1 atau x> 2E.x> −1 atau x< −26.Jikaa= 6 log 5 dana= 5 log 4, maka4 log 0,24 = .... A.𝑎+2𝑎𝑏B.2𝑎+1𝑎𝑏C.𝑎−2𝑎𝑏D.2𝑎+12𝑎𝑏E.1−2𝑎𝑎𝑏7.Nilai x yang memenuhi persamaan2log (2x–3) –4log (𝑥−32)= 1 adalah ....A.3/2 B.2/3 C.5/2 D.2/5 E.4/38.Nilai xyang memenuhi persamaanlog𝑥5−3.log𝑥+log1𝑥=2adalah ....A.1000B.100 C.10 D.0,1 E.0,01 9.Nilaixyang memenuhi .12log(𝑥2–3)> 0 adalah....A.−√3<𝑥<√3B.−2 < x< 2C.−2 < x< −√3atau √3< x< 2D.𝑥≤−2atau 𝑥≥2E.x< √3atau x> 210.Modal sebesarRp 150.000,00 ditabung dengan bunga majemuk 12% per tahun. Besar modal tersebut pada akhir tahun ke-5 dapat dinyatakan dengan ....A.(150.000 1,12)4B.150.000 (1,12)5C.150.000 (1,12)4D.(150.000 1,12)5E.150.000 (1,12)6
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN50KUNCI JAWABAN EVALUASI1.D2.D3.E4.D5.D6.E7.78.B9.C10.B
Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN51DAFTAR PUSTAKAKemdikbud. 2014. Matematika Kelas X. Jakarta: Puskurbuk.Kanginan, Marthen. 2013. Matematika Kelas X Peminatan. Bandung:Yrama Widya.Danuri, Muh. 2006. Pembelajaran Fungsi, Persamaan, Pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma. Yogyakarta:PPPPTK Matematika.Anwar, Cecep. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 3. Jakarta. Pusat Perbukuan Depatemen Pendidikan Nasional.